Question

12．已知圓C：（x-1）²+（y-1）²=9，直線(xiàn)l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）若m=0，求直線(xiàn)被圓C截得的弦長(zhǎng)；
（2）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l與圓恒交于兩點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由條件利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得弦心距，再利用弦長(zhǎng)公式求得直線(xiàn)被圓C截得的弦長(zhǎng)．
（2）根據(jù)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M，而點(diǎn)M在圓的內(nèi)部，可得直線(xiàn)l與圓恒交于兩點(diǎn)．

解答 解：（1）若m=0，則直線(xiàn)l：x+y-4=0，求得弦心距d=$\frac{|1+1-4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，而半徑r=3，
故弦長(zhǎng)為2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
（2）直線(xiàn)l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 x+y-4+m（2x+y-7）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，可得直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（3，1）．
而點(diǎn)M（3，1）到圓心C（1，1）的距離為2，小于半徑3，故點(diǎn)M在圓C的內(nèi)部，故直線(xiàn)l與圓恒交于兩點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線(xiàn)和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．