Question

7．與雙曲線x²-2y²=2有相同漸近線，且過點M（2，-2）的雙曲線的標準方程（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1或$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 已知雙曲線即$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1，可設(shè)要求的雙曲線方程為 $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=k，再把點M（2，-2）代入，求得k的值，從而求得要求的雙曲線方程．

解答 解：雙曲線x²-2y²=2，即$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1，它的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
由于所求雙曲線與雙曲線x²-2y²=2有相同漸近線，故可設(shè)要求的雙曲線方程為 $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=k．
再根據(jù)要求的雙曲線經(jīng)過點M（2，-2），可得2-4=k，求得 k=-2，
故要求的雙曲線方程為 $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=-2，即 $\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
故選：D．

點評 本題主要考查雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，利用了與雙曲線x²-2y²=2有相同漸近線的雙曲線方程為 $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=k的形式，屬于中檔題．