精英家教網(wǎng)如圖,平面ABEF⊥平面ABCD,四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC
.
1
2
AD
,BE
.
1
2
AF
,G,H分別為FA,F(xiàn)D的中點(diǎn)
(Ⅰ)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;
(Ⅱ)C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)是否共面?為什么?
(Ⅲ)設(shè)AB=BE,證明:平面ADE⊥平面CDE.
分析:解法1:(Ⅰ)直接證明GH
.
BC推出四邊形BCHG是平行四邊形.
(Ⅱ)C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共面.推出EF∥CH,就是EC,F(xiàn)H共面.又點(diǎn)D在直線FH上所以C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共面.
(Ⅲ)連接EC,證明BG⊥EA.BG⊥ED,ED∩EA=E,推出BG⊥平面ADE,然后證明平面ADE⊥平面CDE.
解法2:由平面ABEF⊥平面ABCD,AF⊥AB,得AF⊥平面ABCD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),射線AB為x軸正半軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz
(Ⅰ)通過
HG
=
BC
,又點(diǎn)G不在直線BC上,說明四邊形BCHG是平行四邊形.
(Ⅱ)C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共面.利用
EF
=(-a,0.c),
CH
=(-a,0.c),
EF
=
CH
,又C∉EF,H∈FD,證明C,D,E,F(xiàn)四點(diǎn)共面.
(Ⅲ)通過
CH
AE
=0,
CH
AD
=0
,即CH⊥AE,CH⊥AD,說明平面ADE⊥平面CDE
解答:精英家教網(wǎng)解法1:(Ⅰ)由題意知,F(xiàn)G=GA,F(xiàn)H=HD
所以GH
.
1
2
AD

又BC
.
1
2
AD
,故GH
.
BC
所以四邊形BCHG是平行四邊形.

(Ⅱ)C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共面.理由如下:
由BE
.
1
2
AF
,G是FA的中點(diǎn)知,BE
.
GF,所以EF∥BG
由(Ⅰ)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC,F(xiàn)H共面.又點(diǎn)D在直線FH上
所以C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共面.
(Ⅲ)連接EG,由AB=BE,BE
.
AG及∠BAG=90°知ABEG是正方形
故BG⊥EA.由題設(shè)知FA,AD,AB兩兩垂直,故AD⊥平面FABE,
因此EA是ED在平面FABE內(nèi)的射影,根據(jù)三垂線定理,BG⊥ED
又ED∩EA=E,所以BG⊥平面ADE
由(Ⅰ)知CH∥BG,所以CH⊥平面ADE.
由(Ⅱ)知F∈平面CDE,故CH?平面CDE,得平面ADE⊥平面CDE

精英家教網(wǎng)解法2:由平面ABEF⊥平面ABCD,AF⊥AB,得AF⊥平面ABCD,
以A為坐標(biāo)原點(diǎn),射線AB為x軸正半軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz
(Ⅰ)設(shè)AB=a,BC=b,BE=c,則由題設(shè)得A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c)
所以
HG
=(0,-b,0),
BC
=(0,b,0)

于是
HG
=-
BC

又點(diǎn)G不在直線BC上
所以四邊形BCHG是平行四邊形.
(Ⅱ)C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共面.理由如下:
由題設(shè)知F(0,0,2c),所以
EF
=(-a,0.c),
CH
=(-a,0.c),
EF
=
CH

又C∉EF,H∈FD,故C,D,E,F(xiàn)四點(diǎn)共面.
(Ⅲ)由AB=BE得,所以
CH
=(-a,0,a),
AE
=(a,0,a)

AD
=(0,2b,0)
,因此
CH
AE
=0,
CH
AD
=0

即CH⊥AE,CH⊥AD
又AD∩AE=A,所以CH⊥平面ADE
故由CH?平面CDFE,得平面ADE⊥平面CDE
點(diǎn)評(píng):此題重點(diǎn)考查立體幾何中直線與直線的位置關(guān)系,四點(diǎn)共面問題,面面垂直問題,考查了空間想象能力,幾何邏輯推理能力,以及計(jì)算能力;熟悉幾何公理化體系,準(zhǔn)確推理,注意邏輯性是順利進(jìn)行解法1的關(guān)鍵;在解法2中,準(zhǔn)確的建系,確定點(diǎn)坐標(biāo),熟悉向量的坐標(biāo)表示,熟悉空間向量的計(jì)算在幾何位置的證明,在有關(guān)線段,角的計(jì)算中的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.
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如圖,平面ABEF⊥平面ABCD,四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC
 
=
1
2
AD,BE
.
1
2
AF.
(1)求證:C、D、F、E四點(diǎn)共面;
(2)設(shè)AB=BE,求證:平面ADE⊥平面DCE;
(3)設(shè)AB=BC=BE,求二面角A-ED-B的余弦值.

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如圖,平面ABEF⊥平面ABCD,四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC
.
1
2
AD
,BE
.
1
2
AF
,G,H分別為FA,F(xiàn)D的中點(diǎn)
(Ⅰ)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;
(Ⅱ)C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)是否共面?為什么?
(Ⅲ)設(shè)AB=BE,證明:平面ADE⊥平面CDE.
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如圖,平面ABEF⊥平面ABCD,四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形,

BAD=∠FAB=90°,BCAD,BEAF.

(Ⅰ)證明:C、D、F、E四點(diǎn)共面:

(Ⅱ)設(shè)AB=BC=BE,求二面角A-ED-B的大小.

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如圖,平面ABEF⊥平面ABCD,四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BCAD,BE∥AF.

(Ⅰ)證明:C、D、F、E四點(diǎn)共面:

(Ⅱ)設(shè)AB=BC=BE,求二面角A-ED-B的大小.

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