Question

關于二項式（x-1）²⁰⁰⁵有下列命題：
①該二項展開式中非常數項的系數和是1；
②該二項展開式中第六項為C₂₀₀₅⁶x¹⁹⁹⁹；  
③該二項展開式中系數最大的項是第1002項；
④當x=2006時，（x-1）²⁰⁰⁵除以2006的余數是2005．
其中正確命題的序號是

①④

．（注：把你認為正確的命題序號都填上）

Answer 1

分析：令x=1求出二項式（x-1）²⁰⁰⁵所有項的系數和，令x=0求出常數項，從而求出非常數項的系數和，即可判定①的真假；根據二項式展開式的通項公式求出第六項進行判定②的真假；根據二項展開式的特點可知系數絕對值最大的項，可判定③的真假；當x=2006時，（x-1）²⁰⁰⁵除以2006的余數是2006-l=2005，可判定④的真假．

解答：解：令x=1求出二項式（x-1）²⁰⁰⁵所有項的系數和為0，令x=0求出常數項為-l，非常數項的系數和是1，即得①正確；
二項展開式的第六項為C₂₀₀₅⁵x²⁰⁰⁰，即得②錯誤；
二項展開式中系數絕對值最大的項為

C	2005-1 2 2005

=C₂₀₀₅¹⁰⁰²，-

C	2005+1 2 2005

=-C₂₀₀₅¹⁰⁰³，得系數最大的項是第1003項C₂₀₀₅¹⁰⁰²•x¹⁰⁰³，即③錯誤；
當x=2006時，（x-1）²⁰⁰⁵除以2 006的余數是2006-l=2005，即④正確．
故答案為：①④．

點評：本題主要考查了二項式系數的性質，以及特定項以及系數最大項，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．