Question

若不等式|x-2a|≥

1

2

x+a-1對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：化簡(jiǎn)不等式|x-2a|≥

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2

x+a-1得|x-2a|-

1

2

x-a+1≥0，構(gòu)造函數(shù)f（x）=|x-2a|-

1

2

x-a+1，利用分段函數(shù)求出f（x）的最小值，根據(jù)不等式|x-2a|≥

1

2

x+a-1對(duì)x∈R恒成立等價(jià)于f（x）_min≥0，即可求出a的范圍．

解答： 解：不等式|x-2a|≥

1

2

x+a-1可化為|x-2a|-

1

2

x-a+1≥0，
令f（x）=|x-2a|-

1

2

x-a+1，
則不等式|x-2a|≥

1

2

x+a-1對(duì)x∈R恒成立等價(jià)于f（x）≥0，
∵f(x)=

1 2 x-3a+1，x＞2a a- 3 2 x+1，x≤2a

，
∴f（x）在（-∞，2a）上遞減，在（2a，+∞）上遞增，
∴f（x）≥f（2a）=-2a+1≥0，
∴a≤

1

2

，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的轉(zhuǎn)化，含有絕對(duì)值的函數(shù)化為分段函數(shù)解決的技巧，恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化等知識(shí)的應(yīng)用，屬于中檔題．