Question

已知某運(yùn)動(dòng)的物體做變速直線運(yùn)動(dòng),它的速度v是時(shí)間t的函數(shù)v(t),求物體在t=0到t=t₀這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程s.

Answer 1

思路分析:利用定積分的定義,先分割,再近似代替,然后作和,求出極限即得路程.

解:(1)分割:將時(shí)間區(qū)間［0,t₀］分成n等份:［t₀］(i=1,2,…,n),每個(gè)小區(qū)間所表示的時(shí)間為Δt=;各區(qū)間物體運(yùn)動(dòng)的距離記作Δs_i(i=1,2,…,n).

(2)近似代替:在每個(gè)小區(qū)間上以勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程近似代替變速直線運(yùn)動(dòng)的距離.在小區(qū)間［］上任取一時(shí)刻ξ_i(i=1,2,…,n).用時(shí)刻ξ_i的速度v(ξ_i)近似代替第i個(gè)小區(qū)間上的速度.由勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式,每個(gè)小區(qū)間上物體運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的距離可以近似地表示為Δs_i≈v(ξ_i)Δt(i=1,2,…,n).

(3)求和:因?yàn)槊總�(gè)小區(qū)間上物體運(yùn)動(dòng)的距離可以用這一區(qū)間上做勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程近似代替,所以在時(shí)間［0,t₀］內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的距離s,就可以用這一物體分別在n個(gè)小區(qū)間上作n個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程和近似代替,即s=.

(4)求極限:當(dāng)所分時(shí)間區(qū)間越短,即Δt=越小時(shí),的值越接近于s.因此,當(dāng)n→∞,即Δt=→0時(shí),的極限,就是所求的物體在時(shí)間區(qū)間［0,t₀］上經(jīng)過(guò)的路程.由此得到s=.

    深化升華 s=為做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在［0,t₀］這段時(shí)間內(nèi)所運(yùn)動(dòng)的路程,其中ξ_i為區(qū)間［］上的任意值,取ξ_i=t₀時(shí),s=;

取ξ_i=t₀時(shí),s=;取ξ_i=時(shí),

s=.當(dāng)物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),上面的結(jié)論仍成立.