Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)無零點(diǎn)；

（3）確定的所有可能取值，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立.

（4）數(shù)學(xué)題目雖然千變?nèi)f化，有很多形式雖然陌生新穎，但仔細(xì)分析其條件后又可以轉(zhuǎn)換為若干熟悉的老問題，使新問題得以解決.因此，會(huì)將新問題轉(zhuǎn)化為老問題的思想方法是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要方法之一.下面你將問題（3）中的條件“在區(qū)間內(nèi)恒成立”變化為兩種新形式（不作解答）.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增；（2）證明見解析；（3）；（4）見解析.

【解析】

（1），..

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，由，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增.

綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增.

（2）證明：當(dāng)時(shí)，要證明：函數(shù)無零點(diǎn).即可證明：，即證明.

令，.

，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，

（1）.

當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn).

（3）解：化為：.

令，.可得.

（1），在恒成立.

令，

，

當(dāng)時(shí)，.

令，.

函數(shù)在，上單調(diào)遞增.

的最小值為（1）.

.

時(shí)，.

綜上可得：時(shí)，.在上單調(diào)遞增.

（1），即在上單調(diào)遞增.

，解得.

（4）變化①：時(shí)，證明在區(qū)間內(nèi)恒成立.

變化②：在區(qū)間內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.