精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數在區(qū)間上存在兩個不同零點，求實數的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析；(2).

【解析】

試題分析：（1）先求導數，再根據a討論導函數零點，根據導函數零點情況討論導函數符號，根據導函數符號確定函數單調性，（2）先分離，再利用導數研究函數單調性，最后根據圖像確定存在兩個不同零點的條件，解對應不等式得實數的取值范圍.

試題解析：（1）∵

①若時，，此時函數在上單調遞增；

②若時，又得：

時，此時函數在上單調遞減；

當時，此時函數在上單調遞增；

（2）由題意知：在區(qū)間上有兩個不同實數解，

即函數圖像與函數圖像有兩個不同的交點，

因為，令得：

所以當時，，函數在上單調遞減

當時，，函數在上單調遞增；

則，而，且，

要使函數圖像與函數圖像有兩個不同的交點，

所以的取值范圍為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，B,C分別是海岸線上的兩個城市，兩城市間由筆直的海濱公路相連，B，C之間的距離為100km，海島A在城市B的正東方50處．從海島A到城市C，先乘船按北偏西θ角（，其中銳角的正切值為）航行到海岸公路P處登陸，再換乘汽車到城市C．已知船速為25km/h，車速為75km/h.

（1）試建立由A經P到C所用時間與的函數解析式；

（2）試確定登陸點P的位置，使所用時間最少，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費對年銷售量(單位：t)的影響.該公司對近5年的年宣傳費和年銷售量數據進行了研究，發(fā)現年宣傳費x(萬元)和年銷售量y(單位：t)具有線性相關關系，并對數據作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值.

(1)根據表中數據建立年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程；

(2)已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為，根據(1)中的結果回答下列問題：

①當年宣傳費為10萬元時，年銷售量及年利潤的預報值是多少?

②估算該公司應該投入多少宣傳費，才能使得年利潤與年宣傳費的比值最大.

附：回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

參考數據：.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（，且）.

（Ⅰ）求函數的單調區(qū)間；

（Ⅱ）求函數在上的最大值.

【答案】（Ⅰ）的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.（Ⅱ）當時， ；當時， .

【解析】【試題分析】(I)利用的二階導數來研究求得函數的單調區(qū)間.(II) 由（Ⅰ）得在上單調遞減，在上單調遞增，由此可知.利用導數和對分類討論求得函數在不同取值時的最大值.

【試題解析】

（Ⅰ），

設 ，則.

∵， ，∴在上單調遞增，

從而得在上單調遞增，又∵，

∴當時， ，當時， ，

因此， 的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上單調遞減，在上單調遞增，

由此可知.

∵， ，

∴.

設，

則 .

∵當時， ，∴在上單調遞增.

又∵，∴當時， ；當時， .

①當時， ，即，這時， ；

②當時， ，即，這時， .

綜上， 在上的最大值為：當時， ；

當時， .

[點睛]本小題主要考查函數的單調性,考查利用導數求最大值. 與函數零點有關的參數范圍問題，往往利用導數研究函數的單調區(qū)間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數的大致圖像，討論其圖象與軸的位置關系，進而確定參數的取值范圍；或通過對方程等價變形轉化為兩個函數圖象的交點問題．

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，圓的普通方程為. 在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為 .

（Ⅰ） 寫出圓 的參數方程和直線的直角坐標方程；

（ Ⅱ ） 設直線 與軸和軸的交點分別為，為圓上的任意一點，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，側面是邊長為2的正方形，點是棱的中點.

（1）證明：平面.

（2）若三棱錐的體積為4，求點到平面的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，是正三角形，四邊形是正方形.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知甲盒內有大小相同的個紅球和個黑球，乙盒內有大小相同的個紅球和個黑球．現從甲、乙兩個盒內各任取個球．

（1）求取出的個球中恰有個紅球的概率；

（2）設為取出的個球中紅球的個數，求的分布列和數學期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知常數,函數.

(1)討論在區(qū)間上的單調性;

(2)若存在兩個極值點,且,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】

已知橢圓.過點（m,0）作圓的切線l交橢圓G于A，B兩點.

（I）求橢圓G的焦點坐標和離心率；

（II）將表示為m的函數，并求的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案