Question

【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為整數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn．規(guī)定：若數(shù)列{an}滿足前r項(xiàng)依次成公差為1的等差數(shù)列，從第r﹣1項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”．

（1）若數(shù)列{an}為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）在（1）的條件下，求出Sn，并證明：對(duì)任意n∈N*，anSn≥a6S6；

（3）已知數(shù)列{an}為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且a1=﹣10，是否存在正整數(shù)k，m（m＞k），使得a1+a2+…+ak﹣1+ak=a1+a2+…+am﹣1+am？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（或）

（2）見(jiàn)解析；（3）存在或或或．

【解析】

試題（1）若數(shù)列{an}為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，{an}前6項(xiàng)為等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起為等比數(shù)列，可得a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）得（或，可見(jiàn)數(shù)列{anSn}的最小項(xiàng)為a6S6=﹣6，即可證明：對(duì)任意n∈N*，anSn≥a6S6；

（3），分類討論，求出所有的k，m值．

解：（1）∵數(shù)列{an}為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，

∴{an}前6項(xiàng)為等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起為等比數(shù)列，

∴a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1=﹣3

∴（或）

（2）由（1）得（或）

，

{Sn}：﹣3，﹣5，﹣6，﹣6，﹣5，﹣3，1，9，25，…{anSn}：9，10，6，0，﹣5，﹣6，4，72，400，…，

可見(jiàn)數(shù)列{anSn}的最小項(xiàng)為a6S6=﹣6，

證明：，

列舉法知當(dāng)n≤5時(shí)，（anSn）min=a5S5=﹣5；

當(dāng)n≥6時(shí)，，設(shè)t=2n﹣5，則．

（3）數(shù)列{an}為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且a1=﹣10，∵

∴

①當(dāng)k＜m≤12時(shí)，由得（k+m）（k﹣m）=21（k﹣m）k+m=21，k，m≤12，m＞k，∴或．

②當(dāng)m＞k＞12時(shí)，由2k﹣11﹣56=2m﹣11﹣56得m=k，不存在

③當(dāng)k≤12，m＞12時(shí)，由，2m﹣10=k2﹣21k+112

當(dāng)k=1時(shí)，2m﹣10=92，mN*；當(dāng)k=2時(shí)，2m﹣10=74，mN*；

當(dāng)k=3時(shí)，2m﹣10=58，mN*；當(dāng)k=4時(shí)，2m﹣10=44，mN*；

當(dāng)k=5時(shí)，2m﹣10=25，m=15∈N*；當(dāng)k=6時(shí)，2m﹣10=22，mN*；

當(dāng)k=7時(shí)，2m﹣10=14，mN*；當(dāng)k=8時(shí)，2m﹣10=23，m=13∈N*；

當(dāng)k=9時(shí)，2m﹣10=22，m=12舍去；當(dāng)k=10時(shí)，2m﹣10=2，m=11舍去

當(dāng)k=11時(shí)，2m﹣10=2，m=11舍去；當(dāng)k=12時(shí)，2m﹣10=22，m=12舍去

綜上所述，∴存在或或或．