Question

如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求二面角P-AM-D的大小；
（Ⅲ）求點(diǎn)D到平面AMP的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取CD的中點(diǎn)E，連接PE、EM、EA，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知PE⊥平面ABCD，從而AM⊥PE，由勾股定理可求得AM⊥EM，又PE∩EM=E，滿(mǎn)足線面垂直的判定定理則AM⊥平面PEM，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AM⊥PM；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知EM⊥AM，PM⊥AM，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠PME是二面角P-AM-D的平面角，然后在三角形PME中求出此角即可；
（Ⅲ）設(shè)D點(diǎn)到平面PAM的距離為d，連接DM，則根據(jù)等體積得V_P-ADM=V_D-PAM，建立關(guān)于d的等式解之即可得到點(diǎn)D到平面PAM的距離．
解答：解：（Ⅰ）取CD的中點(diǎn)E，連接PE、EM、EA．
∵△PCD為正三角形，∴PE⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD
∴AM⊥PE（2分）
∵四邊形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均為直角三角形
由勾股定理可求得：EM=，AM=，AE=3
∴EM²+AM²=AE²
∴AM⊥EM（4分）
又PE∩EM=E∴AM⊥平面PEM
∴AM⊥PM5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知EM⊥AM，PM⊥AM
∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角（7分）
∴tan∠PME=
∴∠PME=45°
∴二面角P-AM-D為45°（（9分））
（Ⅲ）設(shè)D點(diǎn)到平面PAM的距離為d，連接DM，則
V_P-ADM=V_D-PAM，∴S_△ADM•PE=S_△PAM•d
而S_△ADM=AD•CD=2在Rt△PEM中，由勾股定理可求得PM=
∴S_△PAM=AM•PM=3，所以：
∴d=
即點(diǎn)D到平面PAM的距離為（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，以及二面角的度量和點(diǎn)到平面的距離的求解，同時(shí)考查了空間想象能力和計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．