已知：如圖，三棱錐P-ABC中，AP=AC，PB=2，將此三棱錐沿三條側(cè)棱剪開，其展開圖是一個直角梯形P1P2P3A．

    （1）求證：側(cè)棱PB^AC；

    （2）求側(cè)面PAC與底面ABC所成的二面角大�。�

答案：
解析：

（1）證明：如圖，將直角梯形折成三棱錐時，P1A^P1B，P2C^P2B在立體圖中關(guān)系不變，故有PA^PB，PC^PB，∴ PB^平面PAC，∴ PB^AC．

    （2）解：作PD^AC，由三垂線定理，BD^AC．∴ ÐPDB為側(cè)面PAC與底面ABC所成二面角的平面角，在平面圖形中作AE^CP3于E，由PB=2得AE=4．且由AC=AP得E為CP3中點．設(shè)PA=x，則在平面圖中P1A=AC=P3A=x，CE=EP3=．又CP2=CP3，∴ x-CE=2CE，∴ =x2-16，∴ 8x2=144，x=3．由，得P3D=，即PD=．由P2B=2，BD=P3B-P3D=，由余弦定理得cosÐPDB=，即所求二面角大小為arccos．


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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是邊長為2的正三角形，D，E分別為PB，PC中點．
（1）若PA=2，求直線AE與PB所成角的余弦值；
（2）若PA=
3
，求證：平面ADE⊥平面PBC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，三棱錐P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA=3，PB=PC=BC=6，求二面角P-BC-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知如圖在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=1，若三棱錐P-ABC的四個頂點都在某一個球面上，則該球的表面積為（　�。�
A、3π
B、4π
C、
3
π
2
D、12π

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科目：高中數(shù)學 來源：數(shù)學教研室 題型：044

已知：如圖，三棱錐P-ABC中，AP=AC，PB=2，將此三棱錐沿三條側(cè)棱剪開，其展開圖是一個直角梯形P1P2P3A．

    （1）求證：側(cè)棱PB^AC；

    （2）求側(cè)面PAC與底面ABC所成的二面角大�。�

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