Question

已知函數(shù)f（x）=16x³-20ax²+8a²x-a³，其中a≠0．
（1）求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）設(shè)（1）問中函數(shù)取得極大值的點為P（x，y），求點P的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=16x³-20ax²+8a²x-a³，其中a≠0，
∴f'（x）=48x²-40ax+8a²=8（2x-a）（3x-a）
由f′（x）=0，得，
當a＞0時，，見下表：

x
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大	減函數(shù)	極小	增函數(shù)

∴當時，函數(shù)取得極大值為；
當時，函數(shù)取得極小值為
當a＜0時，，見下表：

x
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大	減函數(shù)	極小	增函數(shù)

∴當時，函數(shù)取得極大值為；
當時，函數(shù)取得極小值為，
（2）由（1）可知：
當a＞0時，，消去a得：y=x³（x＞0），
當a＜0時，，消去a得：y=0（x＜0），
所以 P點的軌跡方程為：．
分析：（1）由f（x）=16x³-20ax²+8a²x-a³，知f'（x）=48x²-40ax+8a²=8（2x-a）（3x-a），由f′（x）=0，得，由此能求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值．
（2）由（1）可知：當a＞0時，y=x³（x＞0）；當a＜0時，y=0（x＜0），由此能求出P點的軌跡方程．
點評：本題考查函數(shù)的極值的求法和點的軌跡方程的應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的靈活運用．