Question

某種商品的成本為5元/件，開始按8元/件銷售，銷售量為50件，為了獲得最大利潤，商家先后采取了提價與降價兩種措施進行試銷．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)：日銷售量Q（件）與實際銷售價x（元）滿足關系：
Q=

50-10(x-8)，8≤x＜13 39(2x2-29x+107)，(5＜x＜7) 198-6x x-5 ，(7≤x＜8)

（1）求總利潤（利潤=銷售額-成本）y（元）與銷售價x（件）的函數(shù)關系式；
（2）試問：當實際銷售價為多少元時，總利潤最大．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)利潤=銷售額-成本，寫出總利潤y（元）與銷售價x（件）的函數(shù)關系式；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關系式，在每一段上討論函數(shù)的最大值，從而求出整個函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，得；
總利潤y（元）與銷售價x（件）的函數(shù)關系式是
y=

39(2x2-29x+107)(x-5)，5＜x＜7 198-6x x-5 (x-5)，7≤x＜8 [50-10(x-8)](x-5)，8≤x＜13

=

39(2x3-39x2+252x-535)，5＜x＜7 6(33-x)，7≤x＜8 -10x2+180x-650，8≤x＜13

；
（2）由（1）得：
當5＜x＜7時，y=39（2x³-39x²+252x-535），
∴y′=234（x²-13x+42）=234（x-6）（x-7），
當5＜x＜6時，y′＞0，y=f（x）為增函數(shù)，
當6＜x＜7時，y′＜0，y=f（x）為減函數(shù)，
∴當x=6時，f（x）_max=f（6）=195；
當7≤x＜8時，y=6（33-x）∈（150，156]；
當8≤x＜13時，y=-10（x-9）²+160，
當x=9時，y_max=160；
綜上知：當x=6時，總利潤最大，最大值為195．

點評：本題考查了函數(shù)模型的應用問題，解題時列出函數(shù)解析式，從而分析函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題目．