Question

【題目】設橢圓的右焦點為，直線與軸交于點，假設（其中為坐標原點）

（1）求橢圓的方程；

（2）設是橢圓上的任意一點，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個端點），求的最大值

Answer 1

【答案】（1）（2）11

【解析】

（1）先求出坐標，再由，聯(lián)立求解，即可求得，進而求得標準方程；

（2）解法不唯一，可采用方法1中的向量法進行轉化；也可采用方法2，純代數(shù)運算，分別表示出點，其中的中點坐標為，可得，再表示出的坐標表達式，結合二次函數(shù)最值可求解；還可采用分類討論直線斜率是否存在的方法，求出直線與圓的點坐標，再結合的坐標運算及二次函數(shù)性質即可求解；

（1）由題設知，，，由，得解得、因此橢圓的方程為；

（2）方法1：設圓的圓心為，

那么，

從而求的最大值轉化為求的最大值，

因為是橢圓上的任意一點，設，因此，即，

因為，因此，

因為，因此當時，取得最大值12，

因此的最大值為11；

方法2：設點，

因為的中點坐標為，因此

因此，

，

，

，

因為點在圓上，因此，即，

因為點在橢圓上，因此，即，

因此，

因為，因此當時，；

方法3：①假設直線的斜率存在，設的方程為，

由，解得，

因為是橢圓上的任一點，設點，

因此，即，

因此，

因此，

因為，因此當時，取得最大值11；

②假設直線的斜率不存在，則的方程為，

由，解得或，

不妨設，，，

因為是橢圓上的任一點，設點，

因此，即，

因此，，

因此，

因為，因此當時，取得最大值11，

綜上可知，的最大值為11