【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),且有兩個(gè)極值點(diǎn)其中,求的最小值;
(3)證明:>(n∈N*,n≥2).
【答案】(1)詳見解析;(2);(3)證明詳見解析.
【解析】
(1)求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù),討論的取值范圍,利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
(2)求出函數(shù)的表達(dá)式,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),令,得,其兩根為,且,所以
所以設(shè),求導(dǎo)研究單調(diào)性求最值.
(3)因?yàn)?/span>,所以要證,令,則
,即證
,由(1)知易證明成立.
(1)的定義域?yàn)?/span>.
①當(dāng)時(shí),恒成立,在定義域上單調(diào)遞增;
②當(dāng)時(shí),令得,
(ⅰ)當(dāng)時(shí),即時(shí),恒成立,
所以在定義域上單調(diào)遞增;
(ⅱ)當(dāng)時(shí),即時(shí),的兩根為或,
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,
綜上,當(dāng),在定義域上單調(diào)遞增,無遞減區(qū)間;
當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間為,,
遞減區(qū)間為
(2)(2)的定義域?yàn)?/span>,
令,得,其兩根為,且,所以
所以
.
設(shè),
則,
因?yàn)?/span>,
當(dāng)時(shí),恒有,當(dāng)時(shí),恒有,
總之,時(shí),恒有,所以在上單調(diào)遞減,
所以,所以.
(3)因?yàn)?/span>,
所以要證
即證明,,
令,
則,即證,
由(1)知,時(shí),在 單調(diào)遞增,所以,
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)a=3時(shí),求函數(shù)在上的最大值和最小值;
(Ⅱ)求函數(shù)的定義域,并求函數(shù)的值域.(用a表示)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,直線與軸交于點(diǎn),假設(shè)(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn),為圓的任意一條直徑(、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)),求的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(其中α為參數(shù)),曲線C2:(x﹣1)2+y2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標(biāo)方程;
(2)若射線θ=(ρ>0)與曲線C1,C2分別交于A,B兩點(diǎn),求|AB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線過點(diǎn)且傾斜角為,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系.
(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程;
(2)若直線l與曲線C交于兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的多面體ABCDEF滿足:正方形ABCD與正三角形FBC所在的兩個(gè)平面互相垂直,FB∥AE且FB=2EA.
(1)證明:平面EFD⊥平面ABFE;
(2)若AB=2,求多面體ABCDEF的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax,其中a為實(shí)數(shù).
(1)求出f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)在a<1時(shí),是否存在m>1,使得對(duì)任意的x∈(1,m),恒有f(x)+a>0,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知λ,μ為常數(shù),且為正整數(shù),λ≠1,無窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意的正整數(shù)n,Sn=λan﹣μ.記數(shù)列{an}中任意兩不同項(xiàng)的和構(gòu)成的集合為A.
(1)證明:無窮數(shù)列{an}為等比數(shù)列,并求λ的值;
(2)若2015∈A,求μ的值;
(3)對(duì)任意的n∈N*,記集合Bn={x|3μ2n﹣1<x<3μ2n,x∈A}中元素的個(gè)數(shù)為bn,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
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