Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，直線：x＝－將線段F₁F₂分成兩段，其長度之比為1:3．設(shè)A，B是C上的兩個動點(diǎn)，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線l上．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)求的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)； (Ⅱ)[，）．

試題分析：(Ⅰ)由題意比例關(guān)系先求c，再由離心率求a，從而可求橢圓的方程；（Ⅱ）分直線AB斜率是否存在兩種情況討論：（1）當(dāng)直線AB垂直于x軸時，易求；（2）當(dāng)直線AB不垂直于x軸時，先設(shè)直線AB的斜率，點(diǎn)M、A、B的坐標(biāo)，把點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入橢圓方程求k、m之間的關(guān)系，再求PQ直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理求的表達(dá)式，最后求其范圍．
試題解析：(Ⅰ) 設(shè)F₂(c，0)，則＝，所以c＝1．
因?yàn)殡x心率e＝，所以a＝．
所以橢圓C的方程為．                     6分

(Ⅱ)當(dāng)直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x＝－，此時P(，0)、Q(,0)
．
當(dāng)直線AB不垂直于x軸時，設(shè)直線AB的斜率為k，M(－，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
由  得(x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，則－1＋4mk＝0，故k＝．
此時，直線PQ斜率為，PQ的直線方程為．即．
聯(lián)立 消去y，整理得．
所以，．
于是(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂

．
令t＝1＋32m²，1＜t＜29，則．
又1＜t＜29，所以．
綜上，的取值范圍為[，）． 15分