Question

設(shè)A是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）長(zhǎng)軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓存在點(diǎn)P，使AP⊥OP，求橢圓離心率e的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由于∠AP0=90゜，可得點(diǎn)P所在的圓的方程x²+y²-ax=0，與橢圓方程聯(lián)立可得交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，即a與b的關(guān)系，再利用離心率計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：∵∠AP0=90゜，∴點(diǎn)P在以AO為直徑的圓上，
∵O（0，0），A（a，0），
∴以AO為直徑的圓方程為x²+y²-ax=0，
聯(lián)立

x2 a2 + y2 b2 =1 x2+y2-ax=0

消去y，得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0．
設(shè)P（m，n），則m+a=-

a3

b2-a2

，ma=

-a2b2

b2-a2

，可得m=

ab2

a2-b2

．
∵由圖形得0＜m＜a，∴0＜

ab2

a2-b2

＜a，
即b²＜a²-b²，可得a²-c²＜c²，得a²＜2c²
∴e2＞

1

2

，∴e＞

2

2

．
又∵e∈（0，1），
∴橢圓的離心率e的取值范圍為（

2

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、橢圓的離心率范圍性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．