Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)互不相等，前2項(xiàng)和為10，且a₁a₇=a₃²．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，n∈N⁺，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d且d≠0，利用前2項(xiàng)和為10可知2a₁+d=10，利用a₁a₇=a₃²可知a₁（a₁+6d）=$（{a}_{1}+2d）^{2}$，通過(guò)聯(lián)立兩式解得d=2、a₁=4，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知a_n=2n+2，裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），并項(xiàng)相加、計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d且d≠0，
∵前2項(xiàng)和為10，
∴2a₁+d=10，①
又∵a₁a₇=a₃²，
∴a₁（a₁+6d）=$（{a}_{1}+2d）^{2}$，②
聯(lián)立①、②，解得：d=2，a₁=4，
∴數(shù)列{a_n}是以4為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=4+2（n-1）=2n+2；
（2）由（1）可知a_n=2n+2，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{（2n+2）•[2（n+1）+2]}$
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），n∈N⁺，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{8（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．