Question

（2003•崇文區(qū)一模）某化肥廠(chǎng)從今年1月起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按現(xiàn)狀生產(chǎn)，每月收入為70萬(wàn)元，同時(shí)還將受到環(huán)保部門(mén)的處罰，第1個(gè)月罰1萬(wàn)元，以后逐月遞增2萬(wàn)元．如果從今年1月起投資400萬(wàn)元增加回收凈化設(shè)備（改造設(shè)備時(shí)間不計(jì)），一方面可以改善環(huán)境，免去環(huán)保部門(mén)的處罰，另一方面也可降低原料成本，據(jù)測(cè)算，投產(chǎn)后的前5個(gè)月中的累計(jì)收入y（萬(wàn)元）是生產(chǎn)時(shí)間n（以月為單位）的二次函數(shù)．生產(chǎn)前1、前2、前3個(gè)月的累計(jì)收入分別可達(dá)101萬(wàn)元、204萬(wàn)元和309萬(wàn)元，以后每個(gè)月的收入穩(wěn)定在第5個(gè)月的水平．
（I）求投資改造設(shè)備后，累計(jì)收入y與生產(chǎn)時(shí)間n的函數(shù)表達(dá)式；
（II）至少經(jīng)過(guò)多少個(gè)月，投資改造設(shè)備后的純收入多于不改造設(shè)備時(shí)的純收入？

Answer 1

分析：（I）根據(jù)投產(chǎn)后的前5個(gè)月中的累計(jì)收入y（萬(wàn)元）是生產(chǎn)時(shí)間n（以月為單位）的二次函數(shù)可利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，以后累計(jì)收入成等差數(shù)列，從而求出投資改造設(shè)備后，累計(jì)收入y與生產(chǎn)時(shí)間n的函數(shù)表達(dá)式；
（II）先比較改造設(shè)備后前5個(gè)月的純收入與不改造設(shè)備前5個(gè)月的純收入可知5個(gè)月內(nèi)投資不能見(jiàn)成效，然后根據(jù)投資改造設(shè)備后的純收入多于不改造設(shè)備時(shí)的純收入建立關(guān)系式，解之即可．

解答：本小題滿(mǎn)分（15分）．
（I）解：設(shè)y=an²+bn+c（n≤5，n∈N）．
則

101=a+b+c 204=4a+2b+c 309=9a+3b+c.

解此方程組，得a=1，b=100，c=0．
∴y=n²+100n（n≤5，n∈N）．…（4分）
當(dāng)n＞5，n∈N時(shí)，
y=525+（n-5）[525-416]=109n-20．…（7分）
即y=

n2+100n(n≤5，n∈N) 109n-20(n＞5，n∈N).

…（8分）
（II）解：改造設(shè)備后前5個(gè)月的純收入：5²+100×5-400=125，
不改造設(shè)備前5個(gè)月的純收入：70×5-[1+3+5+7+9]=325，
∵125＜325，
∴5個(gè)月內(nèi)投資不能見(jiàn)成效，…（10分）
當(dāng)n＞5，n∈N時(shí)，
令109n-20-400＞70n-[n+

n(n-1)

2

×2]，即109n-420＞70n-n2，
化簡(jiǎn)，得n²+39n-420＞0，…（13分）
當(dāng)5＜n≤8時(shí)，n²+39n-420＜0，
當(dāng)n≥9時(shí)，n²+39n-420＞0．
即至少經(jīng)過(guò)9個(gè)月，投資改造設(shè)備后的純收入才能多于不改造設(shè)備時(shí)的純收入．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，以及函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．