若不等式a(2x2+y2)≥x2+2xy對任意非零實數(shù)x,y恒成立,則實數(shù)a的最小值為______.
由題意可得:不等式x2+2xy≤a(2x2+y2)對于任意非零實數(shù)x,y恒成立,
即不等式(2a-1)x2-2xy+ay2≥0對于任意非零實數(shù)x,y恒成立,
即不等式(2a-1)(
x
y
2-2•
x
y
+a≥0對于任意非零實數(shù)x,y恒成立,
設(shè)t=
x
y
,所以(2a-1)t2-2t+a≥0對于一切t∈(-∞,0)∪(0,+∞)恒成立,
設(shè)f(t)=(2a-1)t2-2t+a,t∈(-∞,0)∪(0,+∞),
①a=
1
2
時,顯然不符合題意,故舍去.
②當(dāng)a≠
1
2
時,函數(shù)的對稱軸為t0=
1
2a-1
,
所以由題意可得:
2a-1>0
△=4-4(2a-1)a≤0
,解得a≥1.
故答案為1.
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