Question

若不等式a（2x²+y²）≥x²+2xy對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為

1

．

Answer 1

分析：由題意可得：原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為不等式（2a-1）x²-2xy+ay²≥0對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x，y恒成立，即不等式（2a-1）（

x

y

）²-2•

x

y

+a≥0對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x，y恒成立，然后利用一元二次不等式恒成立的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題即可．

解答：解：由題意可得：不等式x²+2xy≤a（2x²+y²）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x，y恒成立，
即不等式（2a-1）x²-2xy+ay²≥0對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x，y恒成立，
即不等式（2a-1）（

x

y

）²-2•

x

y

+a≥0對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x，y恒成立，
設(shè)t=

x

y

，所以（2a-1）t²-2t+a≥0對(duì)于一切t∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
設(shè)f（t）=（2a-1）t²-2t+a，t∈（-∞，0）∪（0，+∞），
①a=

1

2

時(shí)，顯然不符合題意，故舍去．
②當(dāng)a≠

1

2

時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為t₀=

1

2a-1

，
所以由題意可得：

2a-1＞0 △=4-4(2a-1)a≤0

，解得a≥1．
故答案為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是不等式與恒成立的綜合類問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了恒成立的思想以及整體代換的技巧．