Question

已知P，A，B，C是球面上的四點(diǎn)，∠ACB=90°，PA=PB=PC=AB=2，則該球的表面積是（　　）

• A．

  16

  3

  π
• B．

  8

  3

  π
• C．

  8 3

  3

  π
• D．

  16 3

  3

  π

Answer 1

分析：取AB中點(diǎn)E，連接PE、CE，可證出△PAE≌△PBE≌△PCE，得到∠CEP=90°即PE⊥CE，所以PE⊥平面ABC．因此，三棱錐P-ABC外接球的球心O在直線PE上，設(shè)PO=AO=R，建立關(guān)于R的方程并解之得R=

2 3

3

，最后結(jié)合球的表面積為公式，可得外接球的表面積．

解答：解：取AB中點(diǎn)E，連接PE、CE
∵△ABC中，∠ACB=90°，E為AB中點(diǎn)
∴EA=EB=EC=

1

2

AB
又∵PA=PB=PC，PE公用，∴△PAE≌△PBE≌△PCE
∵△PAB中，PA=PB=2，EA=EB=1，∴PE⊥AB，PE=

3

可得∠AEP=∠BEP=∠CEP=90°，即得PE⊥CE，
∵AB、CE是平面ABC內(nèi)的相交直線
∴PE⊥平面ABC
因此，三棱錐P-ABC外接球的球心O必在直線PE上，設(shè)PO=AO=R，得
OE²+AE²=OA²，即（

3

-R）²+1²=R²，解之得R=

2 3

3

∴三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=4πR²=

16

3

π
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的三棱錐，求它的外接球的表面積，著重考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)和球的表面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．