Question

13．（1）已知函數(shù)f（x）=-x²+2x+3．若x∈[a，a+1]（a∈R），請(qǐng)問(wèn)函數(shù)f（x）是否存在最大（�。┲担咳舸嬖�，請(qǐng)求出相應(yīng)的最值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）己知函數(shù)f（x）=-x²+ax+3．若x∈[2，4]（a∈R），請(qǐng)問(wèn)函數(shù)f（x）是否存在最大（�。┲担咳舸嬖�，請(qǐng)求出相應(yīng)的最值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出對(duì)稱軸x=1，討論[a，a+1]和對(duì)稱軸的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性即可得到最值；
（2）求得對(duì)稱軸x=$\frac{a}{2}$，討論區(qū)間[2，4]與對(duì)稱軸的關(guān)系，由單調(diào)性即可得到所求最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=-x²+2x+3的對(duì)稱軸為x=1，
當(dāng)a＞1時(shí)，區(qū)間[a，a+1]為減區(qū)間，
即有f（a）=-a²+2a+3，為最大值，
f（a+1）=4-a²，為最小值；
當(dāng)a+1＜1即a＜0，區(qū)間[a，a+1]為增區(qū)間，
即有f（a）=-a²+2a+3，為最小值，
f（a+1）=4-a²，為最大值；
當(dāng)a≤1≤a+1，即0≤a≤1時(shí)，f（1）=4為最大值，
f（x）的最小值為f（a）、f（a+1）中較小的一個(gè)．
（2）函數(shù)f（x）=-x²+ax+3的對(duì)稱軸為x=$\frac{a}{2}$，
當(dāng)$\frac{a}{2}$＜2即a＜4時(shí)，[2，4]為減區(qū)間，
即有f（2）=2a-1為最大值，f（4）=4a-13為最小值；
當(dāng)$\frac{a}{2}$＞4即a＞8時(shí)，[2，4]為增區(qū)間，
即有f（2）=2a-1為最小值，f（4）=4a-13為最大值；
當(dāng)2≤$\frac{a}{2}$≤4即4≤a≤8時(shí)，f（$\frac{a}{2}$）=3+$\frac{{a}^{2}}{4}$為最大值，
最小值為f（2），f（4）中較小的一個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的最值的求法，考查定區(qū)間和動(dòng)軸，以及動(dòng)區(qū)間和定軸的關(guān)系，屬于中檔題．