Question

（2012•韶關(guān)二模）在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中c=2，且

cosA

cosB

=

b

a

=

3

1

．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）設(shè)圓O過A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)P位于劣弧

AC

上，∠PAB=θ，用θ的三角函數(shù)表示三角形△PAC的面積，并求△PAC面積最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式

cosA

cosB

=

b

a

，整理后再利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡得到sin2A=sin2B，再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到A與B相等或A與B互余，由b與a的比值不相等，得到A不等于B，故A與B互余，可得出C為直角，則此三角形為直角三角形，得證；
（2）由三角形ABC為直角三角形，根據(jù)a與b的比值，以及c的值，利用勾股定理求出a與b的值，再由一條直角邊等于斜邊的一半，可得出此直角邊所對的角為30°，即∠BAC為30°，又∠PAB=θ，用∠PAB-∠BAC表示出∠PAC，同時(shí)在直角三角形PAB中，由AB的長及∠PAB=θ，利用銳角三角函數(shù)定義表示出PA，由AC，PA及sin∠PAC，利用三角形的面積公式表示出三角形APC的面積，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，最后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)θ的范圍，求出這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得出正弦函數(shù)的值域，進(jìn)而確定出面積的最大值．

解答：解：（1）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

得：

b

a

=

sinB

sinA

，
又

cosA

cosB

=

b

a

，
∴

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，整理為sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

，
∵

b

a

=

3

1

，∴A=B舍去，
由A+B=

π

2

可知：C=

π

2

，
則△ABC是直角三角形；…（6分）

（2）由△ABC是直角三角形，

b

a

=

3

1

，
設(shè)a=k，則b=

3

k，又c=2，
根據(jù)勾股定理得：k²+3k²=4，即k²=1，
解得：k=1，則a=1，b=

3

，…（7分）
∵直角三角形ABC中，a=

1

2

c，
∴∠BAC=

π

6

，
由圓周角定理得到△PAB為直角三角形，又∠PAB=θ，
∴PA=AB•cosθ=2cosθ，
∴S_△PAC=

1

2

PA•AC•sin（θ-

π

6

）=

1

2

•2cosθ•

3

sin（θ-

π

6

）=

3

cosθsin（θ-

π

6

）…（9分）
=

3

cosθ（

3

2

sinθ-

1

2

cosθ）=

3

4

（

3

sin2θ-cos2θ）-

3

4

=

3

2

sin（2θ-

π

6

）-

3

4

，…（12分）
∵

π

6

＜θ＜

π

2

，∴

π

6

＜2θ-

π

6

＜

5

6

π，
當(dāng)2θ-

π

6

=

π

2

，即θ=

π

3

時(shí)，S_△PAC最大值等于

3

4

．…（14分）

點(diǎn)評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，三角形的面積公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．