(2012•韶關(guān)二模)定義符號(hào)函數(shù)sgnx=
1,x>0
0,x=0
-1,x<0
,設(shè)f(x)=
sgn(
1
2
-x)+1
2
•f1(x)+
sgn( x-
1
2
)+1 
2
•f2(x),x∈[0,1],若f1(x)=x+
1
2
,f2(x)=2(1-x),則f(x)的最大值等于( 。
分析:分三種情況討論:當(dāng)x=
1
2
時(shí),則符號(hào)函數(shù)的定義結(jié)合已知函數(shù)表達(dá)式,得到f(x)=
5
4
-
1
2
x
,代入x=
1
2
,得f(
1
2
)=1;當(dāng)x
1
2
時(shí),同理得到f(x)=f2(x)=2(1-x),在區(qū)間(
1
2
,+∞)內(nèi)是減函數(shù),得到f(x)<1恒成立;當(dāng)x<
1
2
時(shí),f(x)=f1(x)=x+
1
2
,在區(qū)間(-∞,
1
2
)內(nèi)是增函數(shù),所以f(x)<1恒成立.綜合可得f(x)的最大值等于1,得到正確選項(xiàng).
解答:解:①當(dāng)x=
1
2
時(shí),sgn(x-
1
2
)
=sgn(
1
2
-x)
=0,
因此f(x)=
sgn(
1
2
-x)+1
2
•f1(x)+
sgn( x-
1
2
)+1 
2
•f2(x)=
1
2
f1(x)+
1
2
f2(x),
∵f1(x)=x+
1
2
,f2(x)=2(1-x),
∴f(x)=
1
2
x+
1
4
+(1-x)=
5
4
-
1
2
x

代入x=
1
2
,得f(
1
2
)=1;
②當(dāng)x
1
2
時(shí),sgn(x-
1
2
)
=1,sgn(
1
2
-x)
=-1,
因此f(x)=
sgn(
1
2
-x)+1
2
•f1(x)+
sgn( x-
1
2
)+1 
2
•f2(x)=f2(x)
∴f(x)=2(1-x),在區(qū)間(
1
2
,+∞)內(nèi)是減函數(shù),所以f(x)<2(1-
1
2
)=1恒成立;
③當(dāng)x<
1
2
時(shí),sgn(x-
1
2
)
=-1,sgn(
1
2
-x)
=1,
因此f(x)=
sgn(
1
2
-x)+1
2
•f1(x)+
sgn( x-
1
2
)+1 
2
•f2(x)=f1(x),
∴f(x)=x+
1
2
,在區(qū)間(-∞,
1
2
)內(nèi)是增函數(shù),所以f(x)<
1
2
+
1
2
=1恒成立.
綜上所述,則f(x)的最大值等于1.
故選B
點(diǎn)評(píng):本題給出一個(gè)含有符號(hào)函數(shù)的綜合式為例,以求函數(shù)的最大值為載體,考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.
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(1)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式;
(2)若bn=(
13
)an+n
,求{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.

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3
5
.則sinα=
3
5
3
5
;tan(π-2α)=
24
7
24
7

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x
的定義域,則N∩CRM=( 。

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cosA
cosB
=
b
a
=
3
1

(1)求證:△ABC是直角三角形;
(2)設(shè)圓O過(guò)A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)P位于劣弧
AC
上,∠PAB=θ,用θ的三角函數(shù)表示三角形△PAC的面積,并求△PAC面積最大值.

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