【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，證明：；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）依題意，只要證，記，求得，分和討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到結(jié)論；

（Ⅱ）由 ，記，，（1）當(dāng)時(shí)，得到存在唯一，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，再分和和三種情形討論，得到地產(chǎn)是有一個(gè)極大值點(diǎn) 和一個(gè)極小值點(diǎn)，（2）當(dāng)時(shí)，顯然在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，綜上所述即可得到結(jié)論.

試題解析：

（Ⅰ）依題意，因?yàn)?/span>，只要證，

記，，則.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以，即，原不等式成立.

（Ⅱ）

，

記，.

（1）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，，

所以存在唯一，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，

①若，即時(shí)，對(duì)任意，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn).

②若，即時(shí)，此時(shí)當(dāng)或時(shí)，.即在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.

此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)-1.

③若，即時(shí)，此時(shí)當(dāng)或時(shí)，.即在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.

此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)-1和一個(gè)極小值點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)，，所以，顯然在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

綜上可得：①當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在四棱錐中，底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，且各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，體積為4，且四棱錐的高為整數(shù)，則此球的半徑等于（ ）（參考公式：）

A. 2B. C. 4D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，，分別是其左、右焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求的外接圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“中國(guó)式過(guò)馬路”存在很大的交通安全隱患．某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解路人對(duì)“中國(guó)式過(guò)馬路”的態(tài)度是否與性別有關(guān)，從馬路旁隨機(jī)抽取30名路人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：

項(xiàng)目

男性

女性

總計(jì)

反感

10

不反感

8

總計(jì)

30

已知在這30人中隨機(jī)抽取1人抽到反感“中國(guó)式過(guò)馬路”的路人的概率是.

(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整(直接寫(xiě)結(jié)果，不需要寫(xiě)求解過(guò)程)，并據(jù)此資料分析反感“中國(guó)式過(guò)馬路”與性別是否有關(guān)？

(2)若從這30人中的女性路人中隨機(jī)抽取2人參加一活動(dòng)，記反感“中國(guó)式過(guò)馬路”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

附：K2＝

.

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.010

0.005

k0

2.706

3.841

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】近年，國(guó)家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專(zhuān)業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛(ài)好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門(mén)科目中自選3門(mén)參加考試（6選3），每科目滿分100分.為了應(yīng)對(duì)新高考，某高中從高一年級(jí)1000名學(xué)生（其中男生550人，女生450人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.

（1）已知抽取的名學(xué)生中含男生55人，求的值；

（2）學(xué)校計(jì)劃在高一上學(xué)期開(kāi)設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個(gè)科目，為了了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況，對(duì)在（1）的條件下抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目），下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表. 請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有 99%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？說(shuō)明你的理由；

（3）在抽取到的女生中按（2）中的選課情況進(jìn)行分層抽樣，從中抽出9名女生，再?gòu)倪@9名女生中抽取4人，設(shè)這4人中選擇“地理”的人數(shù)為，求的分布列及期望.

附：，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．

（1）若不等式f（x）﹣| x|≥4x的解集為{x|x≤1}，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）證明：f（x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如果函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間[a，b]，使在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么稱(chēng)為“倍增函數(shù)”。

（I）判斷=是否為“倍增函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

（II）證明：函數(shù)=是“倍增函數(shù)”；

（III）若函數(shù)=ln（）是“倍增函數(shù)”，寫(xiě)出實(shí)數(shù)m的取值范圍。（只需寫(xiě)出結(jié)論）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓具有如下性質(zhì)：若、是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線、的斜率都存在，并記為、時(shí)，則與之積是與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值．試寫(xiě)出雙曲線具有的類(lèi)似的性質(zhì)，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且.

(1)求該拋物線的方程；

(2) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值．

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