Question

如圖，橢圓的左頂點為A，M是橢圓C上異于點A的任意一點，點P與點A關于點M對稱．
（Ⅰ）若點P的坐標為，求m的值；
（Ⅱ）若橢圓C上存在點M，使得OP⊥OM，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，M是線段AP的中點，

因為A（-1，0），，
所以 點M的坐標為．
由于點M在橢圓C上，
所以 ，解得 ．
（Ⅱ）設M（x₀，y₀）（-1＜x₀＜1），則 ，①
因為 M是線段AP的中點，所以 P（2x₀+1，2y₀）．
因為 OP⊥OM，所以，
所以，即 ．②
由 ①，②消去y₀，整理得 ．
所以 ，
當且僅當 時，上式等號成立．
所以m的取值范圍是．
分析：（Ⅰ）由題意知M是線段AP的中點，由中點坐標公式可得M坐標，代入橢圓方程即可得到m值；
（Ⅱ）設M（x₀，y₀）（-1＜x₀＜1），則 ，①由中點坐標公式可用M坐標表示P點坐標，由OP⊥OM得②，聯(lián)立 ①②消去y₀，分離出m用基本不等式即可求得m的范圍；
點評：本題考查直線與圓錐曲線位置關系、橢圓的簡單性質(zhì)，屬中檔題，垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0是常用手段，要靈活運用．