Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+2x²+ax+b，g（x）=e^x（cx+d），且函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），若曲線f（x）和g（x）都過點A（0，2），且在點A處有相同的切線y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥-2時，mg（x）≥f′（x）-2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）對f（x），g（x）進行求導，已知在交點處有相同的切線及曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），從而解出a，b，c，d的值；
（II）令φ（x）=2me^x（x+1）-x²-4x-2，求出導函數(shù)，令φ'（x）=0得x₁=-lnm，x₂=-2，通過對m的討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得最值，即可求出m的范圍．

解答 解：（I）由已知得f（0）=2，g（0）=2，f'（0）=4，g'（0）=4，
而f'（x）=x²+4x+a，g'（x）=e^x（cx+d+c）
故b=2，d=2，a=4，c=2；
（Ⅱ）令φ（x）=2me^x（x+1）-x²-4x-2，
則φ'（x）=2me^x（x+2）-2x-4=2（x+2）（me^x-1）
因φ（0）≥0，則m≥1，
令φ'（x）=0得x₁=-lnm，x₂=-2，
（1）若1≤m＜e²，則-2＜x₁≤0，從而x∈（-2，x₁）時φ'（x）＜0；
當x∈（x₁，+∞）時φ'（x）＞0，
即φ（x）在 （-2，x₁）單調(diào)遞減，在（x₁，+∞）單調(diào)遞增，
故φ（x）在[-2，+∞）的最小值φ（x₁），
φ（x₁）=2m${e}^{{x}_{1}}$（x₁+1）-x₁²-4x₁-4=-2x₁+2-x₁²-4x₁-2=-x₁²-2x₁=-x₁（2+x₁）≥0，
故當x≥-2時φ（x）≥0，即mg（x）≥f'（x）+2恒成立．   
（2）若m=e²，則φ'（x）=2e²（x+2）（e^x-e^-2），
從而當x≥-2時φ'（x）≥0，即φ（x）在[-2，+∞）單調(diào)遞增，
而φ（-2）=0，故當x≥-2時φ（x）≥0，即mg（x）≥f'（x）+2恒成立．
（3）若m＞e²，則φ（-2）=-2me^-2+2=-2e^-2（m-e²）＜0，
從而當x≥-2時，mg（x）≥f'（x）+2不可能恒成立．    
綜上：m的取值范圍是[1，e²]．

點評 此題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，解題的關(guān)鍵是能夠利用導數(shù)工具研究函數(shù)的性質(zhì)，此題是一道中檔題．