Question

已知ρ=2α•cos（θ+

π

4

）（α＞0）．
（1）當(dāng)α=

2

時(shí)，設(shè)OA為圓的直徑，求點(diǎn)A的極坐標(biāo)；
（2）直線l的參數(shù)方程是

x=2t y=4t

，直線l被圓C截得的弧長為d，若d≥

2

，求α的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）把a(bǔ)值代入圓的極坐標(biāo)方程，化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，求出圓的圓心坐標(biāo)，求出OA所在直線方程，與圓的方程聯(lián)立后可求A的坐標(biāo)；
（2）化圓的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，求出圓心坐標(biāo)，化直線的參數(shù)方程為直角坐標(biāo)方程，由圓心到直線的距離求出圓心距，從而得到直線l被圓C截得的弦長d，由d≥

2

，求α的取值范圍．

解答： 解：（1）a=

2

時(shí)，由ρ=2acos（θ+

π

4

），得x²+y²=2x-2y．
所以圓C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+（y+1）²=2  ①
所以圓心C（1，-1）．
又點(diǎn)O的直角坐標(biāo)為（0，0），
所以直線OA的直線方程為y=-x②
聯(lián)立①②解得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（2，-2），極坐標(biāo)為（2

2

cos

7π

4

，2

2

sin

7π

4

）；
（2）由ρ=2α•cos（θ+

π

4

）得
圓C的直角坐標(biāo)方程為(x-

2

2

α)2+(y+

2

2

α)2=α2，
由

x=2t y=4t

，得直線l的直角坐標(biāo)方程為y=2x．
所以圓心C（

2

2

α，-

2

2

α）到直線l的距離為

|- 2 2 α- 2 α|

5

，
所以d=2

α2- 9α2 10

=

10

5

α．
所以

10

5

α≥

2

，所以α≥

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查了極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)，考查了直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．