Question

設(shè)矩陣M=

a 0 0 b

（其中a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（Ⅱ）若曲線C：x²+y²=1在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：

x2

4

+y²=1，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：變換、矩陣的相等,幾種特殊的矩陣變換,逆變換與逆矩陣

專題：綜合題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）由矩陣M=

2 0 0 3

是可逆的，能求出它的逆矩陣M^-1；
（Ⅱ）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P′（x′，y′），可得

ax=x′ by=y′

，利用點(diǎn)P′（x′，y′）在曲線C′上，可得曲線C的方程，根據(jù)已知曲線C的方程，比較系數(shù)可得結(jié)論

解答： 解：（Ⅰ）∵矩陣M=

2 0 0 3

，
∴detM=6≠0，
∴矩陣M是可逆的，
∴M^-1=

1 2 0 0 1 3

．
（Ⅱ）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性交換作用下得到點(diǎn)P′（x′，y′），
則

a 0 0 b

x y

=

x′ y′

，即

ax=x′ by=y′

，
又點(diǎn)P′（x′，y′）在曲線C′上，∴

x′2

4

+y′2=1，
則

a2x2

4

+b2y2=1為曲線C的方程，
又已知曲線C的方程為x²+y²=1，又a＞0，b＞0，
∴a=2，b=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查矩陣變換的應(yīng)用，考查逆矩陣的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．