Question

某航模興趣小組的同學(xué)，為了測出在湖面上航模航行速度，采用如下辦法，在岸邊設(shè)置兩個(gè)觀測點(diǎn)A、B，且AB=80米，當(dāng)航模在C處時(shí)，測得∠ABC=105°及∠BAC=30°，經(jīng)過20秒鐘后，航模直線航行到D處，此時(shí)測得∠BAD=90°和∠ABD=45°，試根據(jù)以上條件求出航模速度（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析：解答本題主要是求出線段CD的長度，由題意不妨選定在三角形ADC中求解，由題意可分別在兩個(gè)三角形ABD與ABC中求得角DAC與邊AD，AC，再由余弦定理求出CD．

解答：解：由題在三角形BAD中，∠BAD=90°和∠ABD=45°，AB=80，故可得出AD=80，又∠BAC=30°，可得出解DAC=60°，
在三角形ABC中，∠ABC=105°及∠BAC=30°，AB=80，故有AC=

AB×sin∠ABC

sin∠ACB

=

80×sin105°

sin45°

=40（

3

+1）
由余弦定理得CD²=AD²+AC²-2AD×AC×cos60°=40²×6，
故CD=40

6

，可得航模的速度是

40 6

20

=2

6

米/秒
答：航模的速度是2

6

米/秒

點(diǎn)評(píng)：本題考查已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，解答本題的關(guān)鍵是建立起符合條件的模型，作出正確的示意圖，然后再由三角形中的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，解三角形的應(yīng)用一般是求距離（長度問題，高度問題等）解題時(shí)要注意綜合利用所學(xué)的知識(shí)與題設(shè)中的條件，求解三角形的邊與角．本類題屬于三角形中知識(shí)的綜合運(yùn)用題，需要綜合運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)，三角恒等變換及正余弦定理，故解題時(shí)要注意根據(jù)題設(shè)條件選擇合適的公式解題．