Question

已知遞增的等比數(shù)列{a_n}中，且a₂=4，a₆=64．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=a_nlog₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）求n•2ⁿ⁺¹-T_n＞50成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知求出等比數(shù)列的公比，然后直接代入an=amqn-m求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=a_nlog₂a_n，整理后由錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）把T_n代入n•2ⁿ⁺¹-T_n＞50，求解指數(shù)不等式得到最小正整數(shù)n的值．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₂=4，a₆=64，得q4=

a6

a2

=

64

4

=16，
解得：q=±2．
∵數(shù)列{a_n}是遞增等比數(shù)列，
∴q=2．
∴an=a2qn-2=4×2n-2=2n；
（2）b_n=a_nlog₂a_n=2nlog22n=n•2n．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ ①
2Tn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1 ②
①-②得：-Tn=21+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1．
∴Tn=(n-1)•2n+1+2；
（3）由n•2ⁿ⁺¹-T_n＞50，得n•2ⁿ⁺¹-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2＞50，
整理得：2ⁿ⁺¹＞52．
∴最小正整數(shù)n的值是5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了數(shù)列不等式的解法，是中檔題．