Question

設(shè)命題p：關(guān)于x的二次方程x²+（a+1）x+a-2=0的一個(gè)根大于零，另一根小于零；命題q：不等式2x²+x＞2+ax對(duì)?x∈（-∞，-1）上恒成立，如果命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：對(duì)于命題P：令f（x）=x²+（a+1）x+a-2，由于關(guān)于x的二次方程x²+（a+1）x+a-2=0的一個(gè)根大于零，另一根小于零，可得f（0）＜0；對(duì)于命題q：由于x∈（-∞，-1），由不等式2x²+x＞2+ax可得：a＞2x-

2

x

+1，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出a的取值范圍；由于命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，可得P與q必然一真一假．

解答： 解：對(duì)于命題P：令f（x）=x²+（a+1）x+a-2，
∵關(guān)于x的二次方程x²+（a+1）x+a-2=0的一個(gè)根大于零，另一根小于零，
∴f（0）＜0，即：a-2＜0，解得：命題p為真時(shí)a＜2；
對(duì)于命題q：∵x∈（-∞，-1），由不等式2x²+x＞2+ax可得：a＞2x-

2

x

+1，
令g(x)=2x-

2

x

+1，由g（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，故g（x）∈（-∞，1）．
又不等式2x²+x＞2+ax對(duì)?x∈（-∞，-1）上恒成立，∴命題q為真時(shí)a≥1．
∵命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，∴P與q必然一真一假．
若p真q假，得a＜1；
若p假q真，得a≥2．
綜上可得：a＜1或a≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、恒成立問題等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合命題的真假判斷方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．