Question

16．已知函數(shù) f（x）=ax+（1-a）lnx+$\frac{1}{x}$（a∈R）
（I）當a=0時，求 f（x）的極值；
（Ⅱ）當a＜0時，求 f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）方程 f（x）=0的根的個數(shù)能否達到3，若能請求出此時a的范圍，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入a的值，求出定義域，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出極值．
（Ⅱ）直接對f（x）求導(dǎo)，根據(jù)a的不同取值，討論f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）由第二問的結(jié)論，即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來討論f（x）的零點個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）f（x）其定義域為（0，+∞）．…（1分）
當a=0時，f（x）=$lnx+\frac{1}{x}$，f'（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{x-1}{{x}^{2}}$．
令f'（x）=0，解得x=1，
當0＜x＜1時，f'（x）＜0；當x＞1時，f'（x）＞0．
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）；
所以x=1時，f（x）有極小值為f（1）=1，無極大值  …（3分）
（Ⅱ） f'（x）=a-$\frac{a-1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{a{x}^{2}-（a-1）x-1}{{x}^{2}}=\frac{（ax+1）（x-1）}{{x}^{2}}$ （x＞0）…（4分）
令f'（x）=0，得x=1或x=-$\frac{1}{a}$
當-1＜a＜0時，1＜-$\frac{1}{a}$，令f'（x）＜0，得0＜x＜1或x＞-$\frac{1}{a}$，
令f'（x）＞0，得1＜x＜-$\frac{1}{a}$；
當a=-1時，f'（x）=-$\frac{（x-1）^{2}}{x}≤0$．
當a＜-1時，0＜-$\frac{1}{a}$＜1，令f'（x）＜0，得0＜x＜-$\frac{1}{a}$或x＞1，
令f'（x）＞0，得-$\frac{1}{a}$＜a＜1；
綜上所述：
當-1＜a＜0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），（-$\frac{1}{a}，+∞$），
   單調(diào)遞增區(qū)間是（1，-$\frac{1}{a}$）；
當a=-1時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）；
當a＜-1時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，-$\frac{1}{a}$），（1，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是$（-\frac{1}{a}，1）$
…（10分）
（Ⅲ）a≥0∴$f'（x）=\frac{（ax+1）（x-1）}{{x}^{2}}（x＞0）$
f'（x）=0（x＞0）僅有1解，方程f（x）=0至多有兩個不同的解．
（注：也可用f_min（x）=f（1）=a+1＞0說明．）
由（Ⅱ）知-1＜a＜0時，極小值 f（1）a+1＞0，方程f（x）=0至多在區(qū)間（-$\frac{1}{a}，+∞$）上有1個解．
a=-1時f（x）單調(diào)，方程f（x）=0至多有1個解．；
a＜-1時，$f（-\frac{1}{a}）＜f（1）=a+1＜0$，方程
f（x）=0僅在區(qū)間內(nèi)（0，-$\frac{1}{a}$）有1個解；
故方程f（x）=0的根的個數(shù)不能達到3．…（14分）

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值和單調(diào)區(qū)間的方法，考查考生化歸思想的應(yīng)用能力，屬于中檔題．