Question

11．設函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{k}{x}$，k∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（e，f（e））處的切線與直線x-2=0垂直，求k值；
（Ⅱ）若對任意x₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，求k的取值范圍；
（Ⅲ）已知函數(shù)f（x）在x=e處取得極小值，不等式f（x）＜$\frac{m}{x}$的解集為P，若M={x|e≤x≤3}，且M∩P≠∅，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由條件可得斜率為0，解方程可得k=e；
（Ⅱ）條件等價于對任意x₁＞x₂＞0，f（x₁）-x₁＜f（x₂）-x₂恒成立，設h（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{k}{x}$-x（x＞0），求出導數(shù)，運用參數(shù)分離，求出右邊函數(shù)的最大值，即可得到k的范圍；
（Ⅲ）由題意可得k=e，由題意f（x）＜$\frac{m}{x}$在[e，3]上有解，即?x∈[e，3]，使f（x）＜$\frac{m}{x}$成立，運用參數(shù)分離，求得右邊函數(shù)的最小值，即可得到m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由條件得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$（x＞0），
∵曲線y=f（x）在點（e，f（e））處的切線與直線x-2=0垂直，
∴此切線的斜率為0，
即f′（e）=0，有$\frac{1}{e}$-$\frac{k}{{e}^{2}}$=0，得k=e；
（Ⅱ）條件等價于對任意x₁＞x₂＞0，f（x₁）-x₁＜f（x₂）-x₂恒成立…（*）
設h（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{k}{x}$-x（x＞0），∴（*）等價于h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
由h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$-1≤00在（0，+∞）上恒成立，得k≥-x²+x=（-x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$（x＞0）恒成立，
∴k≥$\frac{1}{4}$（對k=$\frac{1}{4}$，h′（x）=0僅在x=$\frac{1}{2}$時成立），
故k的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞）；
（Ⅲ）由題可得k=e，
因為M∩P≠∅，所以f（x）＜$\frac{m}{x}$在[e，3]上有解，
即?x∈[e，3]，使f（x）＜$\frac{m}{x}$成立，
即?x∈[e，3]，使 m＞xlnx+e成立，所以m＞（xlnx+e）_min，
令g（x）=xlnx+e，g′（x）=1+lnx＞0，所以g（x）在[e，3]上單調(diào)遞增，
g（x）_min=g（e）=2e，
所以m＞2e．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查不等式存在性和恒成立問題的解決方法，考查運算能力，屬于中檔題．