Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分別為AB，AC中點(diǎn)．

（1）求證：DE∥平面PBC；

（2）求證：AB⊥PE；

（3）求三棱錐P﹣BEC的體積．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】試題分析：（I）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，證出DE∥BC，再由線(xiàn)面平行判定定理即可證出DE∥面PBC；

（II）連結(jié)PD，由等腰三角形“三線(xiàn)合一”，證出PD⊥AB，結(jié)合DE⊥AB證出AB⊥平面PDE，由此可得AB⊥PE；

（III）由面面垂直性質(zhì)定理，證出PD⊥平面ABC，得PD是三棱錐P﹣BEC的高．結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出PD=且S△BEC=，利用錐體體積公式求出三棱錐P﹣BEC的體積，即得三棱錐B﹣PEC的體積．

解：（I）∵△ABC中，D、E分別為AB、AC中點(diǎn)，∴DE∥BC

∵DE面PBC且BC面PBC，∴DE∥面PBC；

（II）連結(jié)PD

∵PA=PB，D為AB中點(diǎn)，∴PD⊥AB

∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，

又∵PD、DE是平面PDE內(nèi)的相交直線(xiàn)，∴AB⊥平面PDE

∵PE平面PDE，∴AB⊥PE；

（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB

∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱錐P﹣BEC的高

又∵PD=，S△BEC=S△ABC=

∴三棱錐B﹣PEC的體積V=VP﹣BEC=S△BEC×PD=