Question

已知是由滿足下述條件的函數(shù)構成的集合：對任意，

① 方程有實數(shù)根；② 函數(shù)的導數(shù)滿足．

（Ⅰ）判斷函數(shù)是否是集合中的元素，并說明理由；

（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域為，則對于任意，都存在，使得等式成立．試用這一性質(zhì)證明：方程有且只有一個實數(shù)根；

（Ⅲ）對任意，且，求證：對于定義域中任意的，，，當，且時，

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)是集合中的元素.

（Ⅱ）方程有且只有一個實數(shù)根.

（Ⅲ）對于任意符合條件的,總有成立.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為①當時，，

所以方程有實數(shù)根0；

②，

所以，滿足條件；

由①②，函數(shù)是集合中的元素.            5分

（Ⅱ）假設方程存在兩個實數(shù)根，，

則，.

不妨設，根據(jù)題意存在，

滿足.

因為，，且，所以.

與已知矛盾.又有實數(shù)根，

所以方程有且只有一個實數(shù)根.                     10分

（Ⅲ）當時，結論顯然成立；                   11分

當，不妨設.

因為,且所以為增函數(shù)，那么.

又因為，所以函數(shù)為減函數(shù)，

所以.

所以，即.

因為，所以， （1）

又因為，所以， （2）

（1）（2）得即.

所以.

綜上，對于任意符合條件的,總有成立.  14分

考點：本題主要考查集合的概念，函數(shù)與方程，導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應用，，反證法，不等式的證明。

點評：綜合題，本題綜合性較強，難度較大。證明方程只有一個實根，可通過構造函數(shù)，研究其單調(diào)性實現(xiàn)，本解法運用的是反證法。由自變量取值，且，確定函數(shù)值的關系，關鍵是如何實現(xiàn)兩者的有機轉換。