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如圖,在四棱錐E-ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,BE=BC,AE⊥BE,M為CE上一點,且BM⊥平面ACE.
(1)求證:AE⊥BC;
(2)如果點N為線段AB的中點,求證:MN∥平面ADE.

【答案】分析:(1)根據BM⊥平面ACE,AE?平面ACE,根據線面垂直的性質可知BM⊥AE,而AE⊥BE,且BE∩BM=B,BE、BM?平面EBC,根據線面垂直的判定定理可知AE⊥平面EBC,根據BC?平面EBC,則AE⊥BC.
(2)取DE中點H,連接MH、AH,根據BM⊥平面ACE,EC?平面ACE,可知BM⊥EC,因為BE=BC,則M為CE的中點.根據中位線可知MH∥,且MH=,因為四邊形ABCD為平行四邊形,所以DC∥AB,且DC=AB,則MH∥,且MH=,而N為AB中點,則MH∥AN,且MH=AN,從而四邊形ANMH為平行四邊形,則MN∥AH,因為MN?平面ADE,AH?平面ADE,根據線面平行的判定定理可知MN∥平面ADE.
解答:證明:(1)因為BM⊥平面ACE,AE?平面ACE,
所以BM⊥AE.(2分)
因為AE⊥BE,且BE∩BM=B,BE、BM?平面EBC,
所以AE⊥平面EBC.(4分)
因為BC?平面EBC,
所以AE⊥BC.(6分)
(2)取DE中點H,連接MH、AH.
因為BM⊥平面ACE,EC?平面ACE,
所以BM⊥EC.
因為BE=BC,
所以M為CE的中點.(8分)
所以MH為△EDC的中位線.
所以MH∥,且MH=.(10分)
因為四邊形ABCD為平行四邊形,所以DC∥AB,且DC=AB.
故MH∥,且MH=
因為N為AB中點,
所以MH∥AN,且MH=AN.
所以四邊形ANMH為平行四邊形,
所以MN∥AH.(12分)
因為MN?平面ADE,AH?平面ADE,
所以MN∥平面ADE.(14分)
點評:判斷或證明線面平行的常用方法有:
①利用線面平行的定義(無公共點);
②利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b⇒a∥α);
③利用面面平行的性質定理(α∥β,a?α⇒a∥β);
④利用面面平行的性質(α∥β,a?α,a?,a∥α⇒?a∥β).
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°,F為AE中點.
(Ⅰ)求證:平面ADE⊥平面ABE;
(Ⅱ)求二面角A-EB-D的大小的余弦值;
(Ⅲ)求點F到平面BDE的距離.

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如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°.
(I)求證:平面ADE⊥平面ABE;
(II)求二面角A-EB-D的大小的余弦值.

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(Ⅰ)求證:DE∥平面FGH;
(Ⅱ)若點P在直線GF上,
GP
GF
,且二面角D-BP-A的大小為
π
4
,求λ的值.

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(2012•淮南二模)如圖,在四棱錐E-ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,BE=BC,AE⊥BE,M為CE上一點,且BM⊥面ACE.
(1)求證:AE⊥BC;
(2)若點N為線段AB的中點,求證:MN∥面ADE;
(3)若 BE=4,CE=4
2
,且二面角A-BC-E的大小為45°,求三棱錐C-ABE的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(本小題滿分14分)如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,

AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=1200,F為AE中點。

(Ⅰ) 求證:平面ADE⊥平面ABE ;

(Ⅱ) 求二面角A—EB—D的大小的余弦值;

(Ⅲ)求點F到平面BDE的距離。

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