Question

解關(guān)于x的不等式  

x-1

x-2

＞

1

a

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：

x-1

x-2

＞

1

a

⇒

x-1

x-2

-

1

a

=

(a-1)x+2-a

a(x-2)

＞0，對參數(shù)a分a＜0、0＜a＜1、a=1與a＞1四種情況討論，即可求得各自情況下的解集．

解答： 解：∵

x-1

x-2

＞

1

a

，
∴

x-1

x-2

-

1

a

=

a(x-1)-(x-2)

a(x-2)

=

(a-1)x+2-a

a(x-2)

＞0，
①當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式化為

(1-a)x-2+a

-a(x-2)

＞0，
∵

2-a

1-a

-2=

a

1-a

＜0，
∴

2-a

1-a

＜2，
∴原不等式的解集為：{x|x＜

2-a

1-a

或x＞2}；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式化為：

(1-a)x-2+a

a(x-2)

＜0，
∵

2-a

1-a

-2=

a

1-a

＞0，
∴

2-a

1-a

＞2，
∴原不等式的解集為：{x|2＜x＜

2-a

1-a

}；
③當(dāng)a=1時(shí)，原不等式變?yōu)椋?span id="u4blkay" class="MathJye">

1

x-2

＞0，
∴x＞2，
∴原不等式的解集為：{x|x＞2}；
④當(dāng)a＞1時(shí)，

x-1

x-2

＞

1

a

?

(a-1)x+2-a

a(x-2)

＞0，
∵

a-2

a-1

-2=-

a

a-1

＜0，
∴

a-2

a-1

＜2，
∴原不等式的解集為：{x|x＜

a-2

a-1

或x＞2}．

點(diǎn)評：本題考查含參數(shù)的分式不等式的解法，著重考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．