Question

15．已知n³（n∈N^*）有如下的拆分方式：1³=1，2³=2+4+2，3³=3+6+9+6+3，…，這些通過拆分得到的數(shù)可組成右邊的數(shù)陣：
（1）認(rèn)真觀察數(shù)陣，求和：1³+2³+…+n³；
（2）若數(shù)列{a_n}中的每一項(xiàng)都大于0，證明：{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n的充要條件是對(duì)任意的n∈N^*，都有$\frac{{a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+…+{a}_{n}^{3}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$n（n+1）．

Answer 1

分析 （1）通過讀取圖表，可以看出1³+2³+…+n³可轉(zhuǎn)化為n個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案；
（2）證必要性可直接把a(bǔ)_n=n代入等式左邊證明，充分性由等式右邊=$\frac{[\frac{1}{2}n（n+1）]^{2}}{\frac{1}{2}n（n+1）}$，再結(jié)合（1）證明．

解答 （1）解：由數(shù)陣可知，
1³+2³+…+n³=（1+2+…+n）+2（1+2+…+n）+…+n（1+2+…+n）
=（1+2+…+n）（1+2+…+n）=$[\frac{1}{2}n（n+1）]^{2}$；
（2）證明：必要性：由a_n=n，得$\frac{{a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+…+{a}_{n}^{3}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{[\frac{1}{2}n（n+1）]^{2}}{\frac{1}{2}n（n+1）}=\frac{1}{2}n（n+1）$；
充分性：若數(shù)列{a_n}滿足$\frac{{a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+…+{a}_{n}^{3}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$n（n+1），
即$\frac{{a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+…+{a}_{n}^{3}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$n（n+1）=$\frac{[\frac{1}{2}n（n+1）]^{2}}{\frac{1}{2}n（n+1）}$=$\frac{（1+2+…+n）（1+2+…+n）}{1+2+…+n}$
=$\frac{（1+2+…+n）+2（1+2+…+n）+…+n（1+2+…+n）}{1+2+…+n}$，
由（1）知，$\frac{（1+2+…+n）+2（1+2+…+n）+…+n（1+2+…+n）}{1+2+…+n}$=$\frac{{1}^{3}+{2}^{3}+…+{n}^{3}}{1+2+…+n}$，
∴a_n=n．
即：若數(shù)列{a_n}中的每一項(xiàng)都大于0，則{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n的充要條件是對(duì)任意的n∈N^*，都有$\frac{{a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+…+{a}_{n}^{3}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$n（n+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的求和，考查了學(xué)生讀取圖表的能力，訓(xùn)練了充分必要條件的證明方法，是中檔題．