Question

設三位數(shù)，若以a、b、c為三條邊的長可以構成一個等腰（含等邊）三角形，則這樣的三位數(shù)n有（ ）
A．45個
B．81個
C．156個
D．165個

Answer 1

【答案】分析：先考慮等邊三角形情況，則a=b=c=1，2，3，4，5，6，7，8，9，此時n有9個，再考慮等腰三角形情況，若a，b是腰，則a=b，列舉出所有的情況，注意去掉不能構成三角形的結果，交換腰和底的位置，求和得到結果．
解答：解：由題意知以a、b、c為三條邊的長可以構成一個等腰（含等邊）三角形，
先考慮等邊三角形情況
則a=b=c=1，2，3，4，5，6，7，8，9，此時n有9個
再考慮等腰三角形情況，若a，b是腰，則a=b
當a=b=1時，c＜a+b=2，則c=1，與等邊三角形情況重復；
當a=b=2時，c＜4，則c=1，3（c=2的情況等邊三角形已經討論了），此時n有2個；
當a=b=3時，c＜6，則c=1，2，4，5，此時n有4個；
當a=b=4時，c＜8，則c=1，2，3，5，6，7，有6個；
當a=b=5時，c＜10，有c=1，2，3，4，6，7，8，9，有8個；
由加法原理知n有2+4+6+8+8+8+8+8=52個
同理，若a，c是腰時，c也有52個，b，c是腰時也有52個
所以n共有9+3×52=165個
故選D．
點評：本題考查排列組合的實際應用，本題解題的關鍵是根據所給的條件不重不漏的列舉出所有的結果，注意數(shù)字要首先能夠構成三角形，即滿足兩邊之和大于第三邊，本題是一個易錯題．