Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-me^-x，若f′(x)≥2

3

恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A、[0，+∞）
• B、[2，+∞）
• C、[3，+∞）
• D、（-∞，3]

Answer 1

分析：由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），由f′(x)≥2

3

，得到m≥-e2x+2

3

ex，則f′(x)≥2

3

恒成立?m≥(-e2x+2

3

x)max．再利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：由f（x）=e^x-me^-x，得f′（x）=e^x+me^-x，
由f′(x)≥2

3

，得到ex+me-x≥2

3

，
化為m≥-e2x+2

3

ex，
∴f′(x)≥2

3

恒成立?m≥(-e2x+2

3

ex)max．
令g（x）=-e2x+2

3

ex=-(ex-

3

)2+3≤3，
當(dāng)且僅當(dāng)ex=

3

，即x=

1

2

ln3時(shí)取等號(hào)．
∴m≥3，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3，+∞）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法．