Question

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a，b，c，已知c=4，A=

π

3

，且函數(shù)f（x）=sinx+cosx的最大值為f（C），則△ABC的周長等于

 

．

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：計算題,解三角形

分析：由題意可得sin（C+

π

4

）=1，結(jié)合0＜C＜π，可解得C，從而可得B，由正弦定理可求得b，a的值，從而可求△ABC的周長．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）的最大值為f（C），
∴可得sin（C+

π

4

）=1，從而解得C+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，由0＜C＜π，可得：C=

π

4

．從而可得：B=π-A-C=π-

π

4

-

π

3

=

5π

12

，
∴由正弦定理可得：b=

csinB

sinC

=

4×sin 5π 12

sin π 4

=2

3

+2，a=

csinA

sinC

=

4×sin π 3

sin π 4

=2

6

．
∴△ABC的周長=a+b+c=2

6

+2

3

+2+4=6+2

6

+2

3

．
故答案為：6+2

6

+2

3

．

點評：本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．