Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且x=1時(shí)，f（x）取極小值-

2

3

．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f（-x）=-f（x），由此能求出f（x）的解析式．
（2）由（1）中函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是否存在x₁，x₂∈[-1，1]，使f'（x₁）•f'（x₂）═-1，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答：解． （1）∵函數(shù)f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f（-x）=-f（x），
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，
即bx²-2d=0恒成立
∴b=0，d=0，
∴f（x）=ax³+cx，
f'（x）=3ax²+c，
∵x=1時(shí)，f（x）取極小值-

2

3

，
∴3a+c=0且a+c=-

2

3

，
解得a=

1

3

，c=-1，
∴f（x）=

1

3

x3-x．
（2）由（1）得f'（x）=x²-1，
當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f'（x）∈[-1，0]
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f'（x）=-1
故?x₁，x₂∈[-1，0]
f'（x₁）•f'（x₂）≥0恒成立，
即f'（x₁）•f'（x₂）≠-1恒成立，
故當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，圖象上不存在兩點(diǎn)，使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線互相垂直

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)曲線上某點(diǎn)的切線方程，其中熟練掌握導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)極值和切線斜率的方法是解答的關(guān)鍵．