Question

對(duì)于定義在R上的函數(shù)f（x），有下述四個(gè)命題；
①若f（x）是奇函數(shù)，則f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對(duì)稱(chēng)；
②若對(duì)x∈R，有f（x+1）=f（x-1），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)；
③若函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，則f（x）為偶函數(shù)；
④函數(shù)y=f（1+x）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)．
其中正確命題為

①③

．

Answer 1

分析：利用函數(shù)的性質(zhì)對(duì)①②③④四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．

解答：解：①，∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，而y=f（x-1）的圖象是將y=f（x）得圖象向右平移一個(gè)單位，
f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對(duì)稱(chēng)，故①正確；
②，對(duì)x∈R，有f（x+1）=f（x-1）≠f（1-x），則y=f（x）的圖象不關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，即②錯(cuò)誤；
③，若函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，
則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=0即y軸對(duì)稱(chēng)，
∴f（x）為偶函數(shù)，③正確；
對(duì)于④，不妨令f（x）=x，則f（1+x）=1+x，f（1-x）=1-x，二者圖象關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的性質(zhì)地綜合應(yīng)用，考查分析與解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．