Question

8．（1）用綜合法證明：[sinθ（1+sinθ）+cos（1+cosθ）][$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）-1]=sin2θ；
（2）用證明：正數(shù)a，b，c滿足a+b＜2c，求證：c-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a＜c+$\sqrt{{c}^{2}-ab}$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用平方差公式，以及二倍角公式，即可得到綜合法的證明過程；
（2）利用分析法證明，將問題轉(zhuǎn)化為證明|a-c|＜$\sqrt{{c}^{2}-ab}$，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明a+b＜2c即可．

解答 證明：（1）左邊=（sinθ+cosθ+1）（sinθ+cosθ-1）…（2分）
=（sinθ+cosθ）²-1…（4分）
=2sinθcosθ…（5分）
=sin2θ=右邊
∴原等式成立．…（6分）
（2）欲證c-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a＜c+$\sqrt{{c}^{2}-ab}$…（1分）
只需證-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a-c＜$\sqrt{{c}^{2}-ab}$ …（2分）
只需證|a-c|＜$\sqrt{{c}^{2}-ab}$ …（3分）
只需證（a-c）²＜c²-ab …（4分）
只需證a²-2ac＜-ab …（5分）
只需證a（a+b）＜2ac，又a＞0…（6分）
只需證a+b＜2c …（7分）
∵a+b＜2c是題設(shè)條件，顯然成立．
故c-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a＜c+$\sqrt{{c}^{2}-ab}$…（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查綜合法，考查三角函數(shù)知識(shí)，考查分析法的運(yùn)用，掌握分析法的證題步驟、正確運(yùn)用綜合法是關(guān)鍵．