已知銳角α、β、γ滿足：cos2α+cos2β+cos2γ=1，則tanαtanβtanγ的最小值為
 
．
分析：由cos2α+cos2β+cos2γ=1想到一個數(shù)學(xué)模型即三個角可看作是長方體的對角線與過一個頂點的三條棱的所成的角，設(shè)出長方體的三條棱，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義表示出tanαtanβtanγ，利用基本不等式可求出最小值．
解答：解：由cos2α+cos2β+cos2γ=1聯(lián)想到銳角α、β、γ是長方體的對角線與過一個頂點的三條棱所成角，
記該長方體過一個頂點的三條棱長分別為a、b、c，
則tanαtanβtanγ=
b2+c2
a
•
a2+c2
b
•
a2+b2
c
≥
2bc
a
•
2ac
b
•
2ab
c
=2
2
，當且僅當a=b=c時，等號成立．
所以tanαtanβtanγ的最小值為2
2
．
故答案為2
2
點評：本題考查了利用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型即長方體的對角線與棱所成的角來解決實際問題，同時要會用基本不等式求最值，學(xué)生在做題時，能否想到這個數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵也是一個難點．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•濰坊一模）已知函數(shù)f(x)=
3
sin
ωx+φ
2
cos
ωx+φ
2
+sin2
ωx+φ
2
(ω＞0，0＜φ＜
π
2
)．其圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為
π
2
，且過點(
π
3
，1)．
（I）函數(shù)f（x）的達式；
（Ⅱ）在△ABC中．a(chǎn)、b、c分別是角A、B、C的對邊，a=
5
，S△ABC=2
5
，角C為銳角．且滿f(
C
2
-
π
12
)=
7
6
，求c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年山東省濰坊市高三3月第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)．其圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為，且過點．

(I) 函數(shù)的達式；

(Ⅱ)在△ABC中．a(chǎn)、b、c分別是角A、B、C的對邊，，，角C為銳角。且滿，求c的值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：濰坊一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
3
sin
ωx+φ
2
cos
ωx+φ
2
+sin2
ωx+φ
2
(ω＞0，0＜φ＜
π
2
)．其圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為
π
2
，且過點(
π
3
，1)．
（I）函數(shù)f（x）的達式；
（Ⅱ）在△ABC中．a(chǎn)、b、c分別是角A、B、C的對邊，a=
5
，S△ABC=2
5
，角C為銳角．且滿f(
C
2
-
π
12
)=
7
6
，求c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年山東省濰坊市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)．其圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為，且過點．
（I）函數(shù)f（x）的達式；
（Ⅱ）在△ABC中．a(chǎn)、b、c分別是角A、B、C的對邊，，，角C為銳角．且滿，求c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年山東省濰坊市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)．其圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為，且過點．
（I）函數(shù)f（x）的達式；
（Ⅱ）在△ABC中．a(chǎn)、b、c分別是角A、B、C的對邊，，，角C為銳角．且滿，求c的值．

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