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【題目】如圖,在各棱長均為2的三棱柱中,側面底面ABC,

1)求側棱與平面所成角的正弦值的大;

2)已知點D滿足,在直線上是否存在點P,使DP∥平面?若存在,請確定點P的位置,若不存在,請說明理由.

【答案】12)恰好為點.

【解析】

1)建立空間直角坐標系,求出AA1向量,平面AA1C1C的法向量,然后求出側棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大。

(2)在(1)的前提下,求出,設出P的坐標,使DP∥平面AB1C,即與法向量共線,再求出P的坐標.

1)∵側面底面ABC,作A1OAC于點O,

平面

,且各棱長都相等,

,

故以O為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,

,

,,

設平面的法向量為

,取,得

設側棱AA1與平面AB1C所成角的為θ,

∴側棱與平面所成角的正弦值為

2)∵,而

,又∵,∴點

假設存在點P符合題意,則點P的坐標可設為,∴

DP∥平面,為平面的法向量,∴,得z=,

又由,得,∴

平面,故存在點P,使DP∥平面,其坐標為,

即恰好為點.

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