Question

【題目】如圖，在各棱長均為2的三棱柱中，側面底面ABC，．

（1）求側棱與平面所成角的正弦值的大小；

（2）已知點D滿足，在直線上是否存在點P，使DP∥平面？若存在，請確定點P的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）恰好為點．

【解析】

（1）建立空間直角坐標系，求出AA1向量，平面AA1C1C的法向量，然后求出側棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大小；

（2）在（1）的前提下，求出，設出P的坐標，使DP∥平面AB1C，即與法向量共線，再求出P的坐標．

（1）∵側面底面ABC，作A1O⊥AC于點O，

∴平面．

又，且各棱長都相等，

∴，，．

故以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，

則，，，，

∴，，．

設平面的法向量為

則，取，得．

設側棱AA1與平面AB1C所成角的為θ，

則，

∴側棱與平面所成角的正弦值為．

（2）∵，而，

∴，又∵，∴點．

假設存在點P符合題意，則點P的坐標可設為，∴

∵DP∥平面，為平面的法向量，∴，得z=,

又由，得，∴．

又平面，故存在點P，使DP∥平面，其坐標為，

即恰好為點．