Question

某公司近年來科研費用支出x萬元與公司所獲得利潤y萬元之間有如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

x	2	3	4	5
Y	18	27	32	35

（Ⅰ）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程

y

=

b

x+

a

；
（Ⅱ）試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測該公司科研費用支出為10萬元時公司所獲得的利潤．
參考公式：若變量x和y用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程為：

y

=

b

x+

a

，其中：

b

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 xi2-n( . x )2

，

a

=

.

y

-

b

.

x

，參考數(shù)值：2×18+3×27+4×32+5×35=420．

Answer 1

考點：線性回歸方程

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)，做出利用最小二乘法所用的四個量，利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．
（Ⅱ）把所給的x的值，代入上一問求出的線性回歸方程中，做出對應(yīng)的y的值，這是一個估計值，是一個預(yù)報值．

解答： 解：（Ⅰ）

.

x

=

2+3+4+5

4

=3，

.

y

=

18+27+32+35

4

=28，

4

i=1

xiyi=2×18+3×27+4×32+5×32=420，

4

i=1

x2=22+32+42+52=54，…（5分）

b

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 xi2-n( . x )2

=

420-4×3.5×28

54-4×3.52

=5.6．
a=

.

y

-

b

.

x

=28-5.6×3.5=8.4…（9分）
所求線性回歸方程為：

?

y

=5.6x+8.4．…．（10分）
（Ⅱ）當x=10時，

?

y

=5.6×10+8.4=64.4（萬元），…．．（11分）
故預(yù)測該公司科研費用支出為10萬元時公司所獲得的利潤為64.4萬元…（12分）

點評：本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是細心地做出線性回歸方程要用的系數(shù)，這里不能出錯，不然會引起第二問也是錯誤的．