Question

（2013•西城區(qū)一模）如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角恰為60°．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)．記△GFD的面積為S₁，△OED（O為原點(diǎn)）的面積為S₂，求

S1

S2

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓的頂點(diǎn)（0，b）時(shí)，其傾斜角為60°，設(shè) F（-c，0），由直線斜率可求得b，c關(guān)系式，再與a²=b²+c²聯(lián)立可得a，c關(guān)系，由此即可求得離心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）橢圓方程可化為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由題意直線AB不能與x，y軸垂直，故設(shè)直線AB的方程為y=k（x+c），將其代入橢圓方程消掉y變?yōu)殛P(guān)于x的二次方程，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用k，c表示出中點(diǎn)G的坐標(biāo)，由GD⊥AB得k_GD•k=-1，則D點(diǎn)橫坐標(biāo)也可表示出來(lái)，易知△GFD∽△OED，故

S1

S2

=

|GD|2

|OD|2

，用兩點(diǎn)間距離公式即可表示出來(lái)，根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可求得

S1

S2

的范圍；

解答：解：（Ⅰ）依題意，當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓的頂點(diǎn)（0，b）時(shí)，其傾斜角為60°．
設(shè) F（-c，0），則 

b

c

=tan60°=

3

．
將 b=

3

c代入a²=b²+c²，得a=2c．
所以橢圓的離心率為 e=

c

a

=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ），橢圓的方程可設(shè)為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
依題意，直線AB不能與x，y軸垂直，故設(shè)直線AB的方程為y=k（x+c），將其代入3x²+4y²=12c²，
整理得 （4k²+3）x²+8ck²x+4k²c²-12c²=0．
則 x1+x2=

-8ck2

4k2+3

，y1+y2=k(x1+x2+2c)=

6ck

4k2+3

，所以G(

-4ck2

4k2+3

，

3ck

4k2+3

)．
因?yàn)?nbsp;GD⊥AB，所以 

3ck 4k2+3

-4ck2 4k2+3 -xD

×k=-1，xD=

-ck2

4k2+3

．
因?yàn)椤鱃FD∽△OED，
所以 

S1

S2

=

|GD|2

|OD|2

=

( -4ck2 4k2+3 - -ck2 4k2+3 )2+( 3ck 4k2+3 )2

( -ck2 4k2+3 )2

=

(3ck2)2+(3ck)2

(ck2)2

=

9c2k4+9c2k2

c2k4

=9+

9

k2

＞9．
所以

S1

S2

的取值范圍是（9，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)，對(duì)能力要求較高．